Keppler publie des lois sur le mouvement planétaire - Histoire

Keppler publie des lois sur le mouvement planétaire - Histoire

En 1609, Johannes Kepler publia ses deux premières lois du mouvement planétaire. Ses lois expliquent le mouvement des planètes autour du soleil.

Avis de non-responsabilité : Le matériel suivant est conservé en ligne à des fins d'archivage.

Un aperçu pour les professeurs de sciences


    Vous trouverez ci-dessous une conférence donnée le 23 mars 2005 à des professeurs de sciences du comté d'Anne Arundel, Maryland. Il contient un aperçu des lois de Kepler avec des exemples, des applications, des problèmes et l'histoire connexe, une ressource pour le matériel de classe
    Il est codé et lié aux sections appropriées de "Des astronomes aux vaisseaux spatiaux". Les enseignants ont également reçu des disques avec le matériel Web, permettant d'y accéder hors ligne.


Une grande partie de cet aperçu est tirée de " From Stargazers to Starships ", un cours détaillé sur l'astronomie, la mécanique newtonienne, la physique du Soleil et les vols spatiaux. Sa page d'accueil est http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm et comprend également des traductions (espagnol, italien et français), un glossaire, une chronologie, des problèmes, des plans de cours, plus de 500 réponses aux questions des utilisateurs et plus. Il utilise l'algèbre et la trigonométrie (sur laquelle un court cours est inclus), met l'accent sur la compréhension conceptuelle, l'histoire, les applications et les liens avec la culture et la société, et ses sections couvrent un large éventail de niveaux, du collège au collège de première année.

Un guide rapide des sections de " Stargazers " liées aux lois de Kepler se trouve dans la section " Lois de Kepler ". Dans ce qui suit, ces sections seront parfois désignées par leur numéro. Vous pouvez également accéder à la liste complète des liens soit à partir du "Plan du site" en haut de cette page ou de "Retour à la page d'accueil" à la fin.

    Notez que les adresses ici sont abrégées, car vous êtes déjà connecté à "Stargazers".
    Ainsi la page d'accueil est Sintro.htm
    pas http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

"Stargazers" contient plus de matériel que ne peut jamais être couvert dans une classe ordinaire. Pourtant, les enseignants ont besoin d'une connaissance plus large, leur permettant de choisir le matériel en fonction des circonstances, et de mentionner des bribes étranges sans discussion détaillée, juste pour susciter l'intérêt.

Et certains enseignants très chanceux peuvent parfois trouver en classe un ou deux enfants qui veulent vraiment en savoir plus. Ces étudiants peuvent être dirigés ici pour satisfaire leur intérêt.

Cet aperçu se concentre sur trois éléments :
--- quelles sont les lois de Kepler, que signifient-elles et pourquoi sont-elles importantes.


  1. Les planètes se déplacent autour du Soleil en ellipses, avec le Soleil à un foyer
  2. La ligne reliant le Soleil à une planète balaie des zones égales en des temps égaux.
  3. Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube (3ème puissance) de la distance moyenne au Soleil
    (également indiqué comme--. du "semi-grand axe" de l'ellipse orbitale, la moitié de la somme des plus petites et des plus grandes distances du Soleil)

La signification des lois de Kepler

Les lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.
Kepler connaissait 6 planètes : la Terre, Vénus, Mercure, Mars, Jupiter et Saturne.

L'orbite de la Terre autour du Soleil.
Il s'agit d'une vue en perspective, la forme de
l'orbite réelle est très proche d'un cercle.

Tous ceux-ci (également la Lune) se déplacent dans presque le même plan plat (section #2 dans " Stargazers "). Le système solaire est plat comme une crêpe ! La Terre est également sur la crêpe, nous voyons donc l'ensemble du système de bord - la totalité de la crêpe occupe une ligne (ou peut-être une bande étroite) coupant à travers le ciel, connue sous le nom d'écliptique. Chaque planète, la Lune et le Soleil aussi, se déplacent le long ou à proximité de l'écliptique. Si vous voyez un groupe d'étoiles brillantes alignées dans le ciel - avec la ligne comprenant peut-être aussi la Lune (dont l'orbite est également proche de cette "crêpe"), ou l'endroit à l'horizon où le Soleil avait juste mis-- vous voyez probablement des planètes.

    Les anciens astronomes croyaient que la Terre était le centre de l'Univers - les étoiles étaient sur une sphère tournant autour d'elle (nous savons maintenant que c'est en fait la Terre qui tourne) et les planètes se déplaçaient sur leurs propres "sphères de cristal" à vitesse variable. Ils se déplaçaient généralement dans la même direction, mais parfois leur mouvement s'inversait pendant un mois ou deux, et personne ne savait pourquoi.

Un ecclésiastique polonais nommé Nicholas Copernicus a compris en 1543 que ces mouvements avaient un sens si les planètes se déplaçaient autour du Soleil, si la Terre était l'une d'entre elles et si les plus éloignées se déplaçaient plus lentement. La Terre dépasse alors parfois les planètes plus lentes et plus éloignées du Soleil, faisant reculer (un temps) leurs positions parmi les étoiles. Les orbites de Vénus et de Mercure sont à l'intérieur de celle de la Terre, elles ne sont donc jamais vues loin du Soleil (par exemple à minuit).

J'espère que la description de ces caractéristiques - la "crêpe" de l'écliptique, le mouvement inversé ("rétrograde"), Vénus toujours proche du Soleil - aidera les étudiants à avoir une idée de l'apparence des planètes dans le ciel, comme étoiles brillantes se déplaçant le long de la même trajectoire que le Soleil et la Lune. Les 12 constellations le long de cette ligne sont connues sous le nom de zodiaque, un nom qui devrait être familier à ceux qui suivent l'astrologie. Vénus, la planète la plus brillante, semble rebondir sur la position du Soleil, tout comme Mercure - mais comme elle est beaucoup plus proche du Soleil, vous ne pouvez la voir que lorsqu'elle est la plus éloignée du Soleil, et puis seulement peu après le coucher du soleil ou avant le lever du soleil.

Les étudiants auront probablement entendu ou lu que le pape et l'église ont combattu l'idée de Copernic, parce que dans l'un des psaumes (qui sont en réalité des poèmes de prière) la Bible dit que Dieu "a établi la Terre pour qu'elle ne bouge pas" [que était une traduction : une plus correcte peut être "ne s'effondrera pas"] . Galilée, un contemporain italien de Kepler qui soutenait les idées de Copernic, fut jugé par l'église pour désobéissance et condamné à une assignation à résidence pour le reste de sa vie.

C'était une époque où les gens suivaient souvent les auteurs anciens (comme le grec Aristote) plutôt que de vérifier de leurs propres yeux ce que la nature faisait vraiment. Lorsque les gens ont commencé à vérifier, observer, expérimenter et calculer, cela a amené l'ère de la révolution scientifique et de la technologie. Notre technologie moderne est le résultat ultime, et les lois de Kepler (ainsi que les travaux de Galilée et ceux de William Gilbert sur le magnétisme) sont importantes, car elles ont déclenché cette révolution.

Johannes
Kepler

Kepler a travaillé avec Tycho Brahe, un noble danois qui a poussé l'astronomie pré-télescope à sa plus grande précision, mesurant les positions des planètes aussi précisément que l'œil pouvait le faire (Brahe est mort en 1602 à Prague, maintenant les télescopes de la capitale tchèque ont commencé avec Galileo vers 1609 ). Si vous voulez lire à ce sujet, je vous recommande "Tycho and Kepler" de Kitty Ferguson, commenté sur http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm ou au moins, lisez la critique. Permettez-moi d'en citer :

    L'intolérance religieuse était répandue - en effet, les événements se dirigeaient vers la guerre de 30 ans (1618-1648), la bataille religieuse la plus destructrice d'Europe, reflétée par la guerre civile en Grande-Bretagne. Kepler a été expulsé de Graz, parmi tous les autres employés des collèges protestants de la ville, après que l'archiduc au pouvoir ait décrété qu'ils devaient quitter la ville à la tombée de la nuit, le même jour. C'était aussi une époque où la mère de Kepler a été arrêtée pour sorcellerie, où la plupart de ses nombreux enfants sont morts dans l'enfance, et où le mariage de Tycho a été considéré comme une union "slegfred" de second ordre parce que sa femme choisie n'était pas de la noblesse.

Essayez également de le faire comprendre aux élèves. En 1620, les « pèlerins » ont débarqué à Plymouth Rock, fuyant le déclenchement de la guerre de religion qui a ensuite dévasté l'Europe. C'est probablement le souvenir de telles guerres qui a conduit les États-Unis, bien plus tard, à décréter la séparation de l'Église et de l'État. Expliquez comment le développement de la science et de la société sont souvent étroitement liés.

Première loi de Kepler

Expliquez d'abord ce qu'est une ellipse : l'une des " sections coniques ", formes obtenues en coupant un cône avec une surface plane. Une lampe de poche crée un cône de lumière : dirigez-la vers un mur plat et vous obtenez une section conique.

    Frappez le mur perpendiculairement. Le mur coupe le cône perpendiculairement à son axe et vous obtenez un cercle de lumière.

Incliner le cône par rapport au mur : une ellipse. Plus vous inclinez, plus l'ellipse se ferme loin.

Les courbes générées comme
"sections coniques" à plat
les avions sont coupés en travers d'un cône.

Enfin, si l'axe du cône est parallèle à la paroi, la courbe ne se ferme jamais : vous obtenez une parabole. Les lois de Kepler (telles que nous les connaissons maintenant) autorisent toutes les sections coniques, et les paraboles sont très proches des orbites des comètes non périodiques, qui commencent très loin.

Il y a beaucoup, beaucoup plus. mais permettez-moi d'évoquer deux points. Ce sont de bons points à soulever en classe, car ils rassemblent les travaux de Kepler d'environ 1610 avec les dernières découvertes scientifiques du 21e siècle.

Tout d'abord, une ellipse très célèbre est montrée ci-dessous. Son histoire est racontée dans la section #S7-a http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm

Vous savez probablement tous que notre soleil fait partie d'une énorme collection d'étoiles en forme de disque - environ 100 milliards au dernier décompte - appelée la galaxie. C'est un disque plat, une galette comme le système solaire - et ici aussi, nous regardons cette galette de côté, donc elle découpe aussi la vue en une bande étroite. Dans cette bande, nous voyons une ceinture d'étoiles faibles courir tout autour du globe du ciel, la " Voie lactée ".

Qu'est-ce qui maintient notre galaxie (et les plus lointaines) ensemble ? Pendant longtemps, on a cru qu'il y avait un trou noir gigantesque au milieu, mais ce milieu était obscurci par des nuages ​​de poussière et donc pas facile à observer. Récemment, des télescopes à haute résolution sensibles à la lumière infrarouge ont été construits, qui peuvent voir à travers la poussière, et ils ont montré une grande concentration d'étoiles en mouvement rapide près du centre de la galaxie, sur des orbites qui obéissent aux lois de Kepler. Le site Web montre l'ellipse d'une étoile en orbite autour du centre une fois en 15,2 ans, et les calculs en déduisent une masse d'environ 3,7 millions de soleils, à plus ou moins 1,5 millions.

    [ Pour les astronomes uniquement : la masse centrale aide à maintenir la galaxie ensemble, mais il y a beaucoup plus de masse impliquée, donc la rotation des parties les plus étendues des galaxies n'obéit pas à la 3ème loi de Kepler. En fait, leurs parties principales semblent tourner comme des disques solides, ce qui est difficile à expliquer à moins de supposer que les galaxies contiennent, en plus des étoiles brillantes, beaucoup de "matière noire" qui affecte la gravité mais est invisible. Voir note et fin du #20 ]

Deuxièmement, nous avons dit que la Terre orbite autour du Soleil (et d'ailleurs, les mêmes lois s'appliquent également aux satellites artificiels qui orbitent autour de la Terre). Mais imaginez que vous puissiez progressivement rendre la Terre de plus en plus lourde, et le Soleil en même temps de plus en plus léger. Quoi alors ? Au point où la Terre et le Soleil sont également lourds, quelles orbites ?

    --- D'abord, il a conçu les lois de base du mouvement --connues depuis lors sous le nom de "3 lois du mouvement de Newton", et vous les enseignez probablement aussi.

--- Deuxièmement, il nous a donné la loi de la gravitation universelle -- a montré que la même force qui a fait tomber les pommes et les pierres, a également maintenu la Lune dans son orbite -- et donc, probablement, a créé toutes les orbites du système solaire .

Pourquoi est-ce important? Parce qu'il nous aide à découvrir si d'autres étoiles ont des planètes ! Nous ne pouvons pas voir ces planètes - trop sombres - mais si l'étoile se tortille d'avant en arrière d'une manière compliquée, c'est peut-être parce qu'une planète la fait bouger ainsi.

Est-ce que ça marche? Oui et non (fin #11a). De nombreuses planètes ont été découvertes de cette manière, mais la plupart d'entre elles sont trop proches de l'étoile (ondulations sur une échelle de temps de quelques semaines) et sont très grosses. Il est plus difficile de découvrir des planètes semblables à la Terre - le mouvement est plus petit et nous devons observer pendant de nombreuses années pour extraire une périodicité de l'ordre d'un an. Mais restez à l'écoute, les astronomes y travaillent.
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2ème loi de Kepler

(Cette ligne est parfois appelée "le vecteur de rayon").

Illustrant la 2ème loi de Kepler :
les segments AB et CD prennent
temps égaux à couvrir.

Une ellipse est un ovale allongé symétrique, avec deux foyers situés symétriquement vers les extrémités "plus nettes" - un foyer contient le Soleil, l'autre est vide. (Dessinez une telle ellipse.) Si nous rapprochons les foyers de plus en plus, l'ellipse apparaît de plus en plus comme un cercle, et lorsqu'ils se chevauchent, nous avons un cercle .

    [ L'orbite de la Terre, et la plupart des orbites planétaires, sont très proches des cercles. Si l'on vous montrait l'orbite de la Terre sans le Soleil au foyer, vous ne seriez probablement pas en mesure de le distinguer d'un cercle. Avec le Soleil inclus, cependant, vous remarquerez peut-être qu'il était légèrement décentré.]
    (L'étoile S2 accélère jusqu'à 2% de la vitesse de la lumière à l'approche du trou noir au centre de notre galaxie !)

Ce qui se passe est mieux compris en termes d'énergie. Au fur et à mesure que la planète s'éloigne du Soleil (ou du satellite de la Terre), elle perd de l'énergie en surmontant l'attraction de la gravité, et elle ralentit, comme une pierre lancée vers le haut. Et comme la pierre, elle retrouve son énergie (complètement - aucune résistance de l'air dans l'espace) au fur et à mesure qu'elle revient.

Il y a un exercice facile ici, qui se trouve également dans la section #12A http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm

Supposons que vous ayez une planète dont la plus petite/la plus grande distance du centre est (r 1 , r 2 ) --elles sont appelées périhélie et aphélie [ap-hélie]) si le centre est le Soleil, ou (périgée, apogée) si le le centre est la Terre. (Les distances sont toujours mesurées à partir du centre des corps, ou des centres de gravité)

Disons que c'est une planète en orbite autour du Soleil. Puis
-- la vitesse V 1 au périhélie est la plus rapide pour l'orbite. C'est donc la distance parcourue en une seconde au périhélie.
-- la vitesse V 2 à l'aphélie est la plus lente pour l'orbite. C'est donc la distance parcourue en une seconde à l'aphélie.

L'aire balayée par le "vecteur de rayon" r pendant une seconde après le périhélie est un triangle rectangle de base V 1 , donc son aire est de 0,5 r 1 V 1

L'aire balayée par le "vecteur de rayon" r pendant une seconde après l'aphélie est un triangle rectangle de base V 2 , donc son aire est de 0,5 r 2 V 2

Par la loi des aires, les deux aires sont les mêmes, donc r 1 V 1 = r 2 V 2
Divisez les deux côtés par r 1 V 2
et obtenir V 1 :V 2 = r 2 :r 1

Si l'aphélie r 2 est 3 fois la distance du périhélie, la vitesse V 2 y est 3 fois plus lente. (Remarque : ce rapport ne fonctionne qu'à ces deux points de l'orbite. À un autre point, la vitesse et le rayon ne sont pas perpendiculaires.)
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Quand sommes-nous au plus près du Soleil ? Vers le 4 janvier, d'environ 1,5%, pas assez pour que le Soleil soit différent.
Voici un moyen rapide de démontrer cette asymétrie (bien que vous n'ayez peut-être pas le temps de la couvrir en classe). Tracez une ellipse, avec le grand axe et une ligne perpendiculaire à celle-ci passant par le Soleil)
Il se trouve (pur accident) que l'équinoxe de printemps et l'équinoxe d'automne, lorsque le jour et la nuit sont égaux, généralement le 21 mars, le 22 ou le 23 septembre, tombent très près de cette ligne perpendiculaire.

Regardez la vue schématique de l'orbite de la Terre dans la section #3. Le grand axe (tel que défini ci-dessus) est la ligne reliant décembre-juin dans ce dessin, et la ligne perpendiculaire est celle reliant mars-septembre.

En fait, les deux conditions sont vérifiées, si la Terre est la plus proche du Soleil vers le 4 janvier. La "moitié" de l'ellipse (déterminée par la ligne perpendiculaire définie ci-dessus) qui est la plus proche du Soleil est plus petite (montrez avec un dessin d'ellipse que est notamment ovale), et selon la 2e loi de Kepler, la Terre se déplace plus rapidement lorsqu'elle est plus proche du Soleil.
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Le fait que l'hémisphère nord soit le plus proche du Soleil au milieu de l'hiver et plus éloigné au milieu de l'été, modère les saisons, les rendant plus douces.
Dans l'hémisphère sud, ils seraient plus rudes, bien que les grands océans y modèrent cet effet.

Mais l'axe de la Terre se déplace autour d'un cône, en environ 26000 ans. Dans 13 000 ans, nous serons le plus proche du Soleil au milieu de l'été, et le climat deviendra plus rude. Comme décrit dans la section 7, il peut s'agir d'un effet lié aux origines des périodes glaciaires, mais les détails dépassent la portée de cet examen.

3e loi de Kepler

    (3) Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel
    au cube de la distance moyenne au Soleil

C'est une loi mathématique, et vos élèves ont besoin de calculatrices avec des racines carrées, également des puissances 3/2 et des puissances 2/3 (et peut-être des racines cubiques ou des puissances 1/3, la même chose)..

Si deux planètes (ou deux satellites terrestres - fonctionnent de la même manière) ont des périodes orbitales T1 et T2 jours ou années, et des distances moyennes du Soleil (ou demi-grands axes) A1 et A2, alors la formule exprimant la 3ème loi est

Les étudiants demanderont tout de suite - nous pouvons compter les jours pour obtenir la période orbitale T (bien que cela puisse être délicat, nous devons soustraire le mouvement de la Terre autour du Soleil) - mais comment connaissons-nous la distance A ?

En vérité, nous ne le faisons pas, mais notez que seuls les rapports de distances sont nécessaires, et les unités n'affectent pas les rapports. Par exemple, supposons que la « Planète 2 » est la Terre et que toutes les heures sont exprimées en années . Alors T 2 =1 (année) et nous pouvons mesurer toutes les distances en Unités Astronomiques (AU) , la distance moyenne Soleil-Terre, de sorte que A 2 =1 (AU). La loi devient alors, pour toute autre planète, (T 1 ) 2 = (A 1 ) 3 Ceci peut être vérifié, et dans la section 10 vous trouvez les résultats sur un tableau :

Vous pouvez voir que, même avec notre précision limitée, la loi tient assez bien. Il montre également que plus la distance est grande, plus le mouvement est lent, ce qui conduit au dépassement des planètes extérieures par la Terre, les faisant (pendant un certain temps) sembler reculer par rapport aux étoiles fixes dans le ciel. Vous pouvez prouver tout cela mathématiquement pour les orbites circulaires en utilisant les lois de Newton (voir la section 21), mais encore une fois, je vais sauter cela.

En kilomètres, l'unité astronomique est d'environ 150 000 000 km, soit 400 fois la distance de la Lune. Toutes sortes de tentatives ont été faites pour le dériver, en commençant par l'ancien grec Aristarque (sect. #9a) et elles sont discutées dans la section #10a. Cela a été fait pour la première fois avec précision en 1672, et l'excitation suscitée par le récent " transit de Vénus " devant le Soleil a été motivée par une proposition faite à cette époque par Halley (de la renommée des comètes) d'utiliser des transits aussi rares pour mesurer l'UA . Les plus récents ont eu lieu en 2004 et 2012, puis plus d'un siècle s'écoule avant le suivant. Une version grossière du calcul, pas courte, se trouve dans les sections #12c à #12e de "Stargazers". (D'autres « méthodes » peuvent être trouvées sur le Web, impliquant le transit de Vénus mais pas sa durée, et elles ne sont pas authentiques.)

Toutes sortes de problèmes peuvent être résolus avec la 3ème loi de Kepler. Voici quelques-uns:

    Combien de temps faut-il pour atteindre Mars, sur l'orbite la plus efficace ? C'est ce qu'on appelle "l'orbite de transfert Hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925). Le vaisseau spatial doit d'abord se libérer de la Terre (il orbite toujours autour du Soleil avec la Terre, à 30 km/s, à une distance de 1 UA), puis il ajoute de la vitesse pour que son aphélie (dans son orbite autour du Soleil) frôle juste l'orbite de Mars, A = 1,524 UA (en ignorant l'ellipticité).
    L'orbite de transfert Hohmann

Pour l'orbite de Hohmann, la plus petite distance est de 1,00 UA (Terre), la plus grande de 1,524 UA (Mars), donc le demi-grand axe est A = 0,5 (1,00 + 1,524) = 1,262 UA A 3 = 2,00992 = T 2
La période est la racine carrée T = 1,412 ans
Atteindre Mars ne prend qu'une demi-orbite ou T/2 = 0,7088 ans
Cela équivaut à environ 8,5 mois. Plus de détails sont dans la section #21b.

Pour atteindre le Soleil directement depuis la Terre, nous devons tirer sur le vaisseau spatial sans la Terre. Il orbite toujours autour du Soleil avec la Terre, à 30 km/s (l'orbite terrestre basse ne prend que 8 km/s), il faut donc lui donner une poussée opposée, ajoutant (-30 km/s) à sa vitesse. Il tombe alors directement dans le Soleil.

Cette orbite est également une ellipse, bien que très mince. Sa longueur totale est de 1 (AU), donc le demi-grand axe est A = 0,5 AU. Par la 3ème loi, A 3 = 0,125 = T 2 , et en prenant la racine carrée , T=0,35355 ans. Nous devons diviser cela par 2 (c'est un aller simple !) et multiplier par 365,25 pour obtenir des jours. Multiplication : T/2 = (0,5) 0,35355 (365,25) = 64,6 jours

Ce nombre est compris entre 6 3 = 216 et 7 3 = 343, donc quand la calculatrice donne R = 6,614 RE. vous savez que vous avez raison.

Si vous êtes un enseignant essayant de couvrir les lois de Kepler, j'espère que ce bref aperçu vous a donné un large éventail d'outils et d'idées qui peuvent s'avérer utiles en classe.

Maintenant, faites-le passer ! Vous en trouverez beaucoup plus dans les sites Web décrits ici.


Les lois de Kepler du mouvement planétaire

Nos rédacteurs examineront ce que vous avez soumis et détermineront s'il faut réviser l'article.

Les lois de Kepler du mouvement planétaire, en astronomie et en physique classique, les lois décrivant les mouvements des planètes du système solaire. Ils ont été dérivés par l'astronome allemand Johannes Kepler, dont l'analyse des observations de l'astronome danois du XVIe siècle Tycho Brahe lui a permis d'annoncer ses deux premières lois en 1609 et une troisième loi près d'une décennie plus tard, en 1618. Kepler lui-même n'a jamais numéroté ces lois ni les a spécialement distinguées de ses autres découvertes.

Que signifie la première loi de Kepler ?

La première loi de Kepler signifie que les planètes se déplacent autour du Soleil sur des orbites elliptiques. Une ellipse est une forme qui ressemble à un cercle aplati. L'aplatissement du cercle s'exprime par son excentricité. L'excentricité est un nombre compris entre 0 et 1. Elle est nulle pour un cercle parfait.

Qu'est-ce que l'excentricité et comment est-elle déterminée ?

L'excentricité d'une ellipse mesure l'aplatissement d'un cercle. Il est égal à la racine carrée de [1 - b*b/(a*a)]. La lettre a représente le demi-grand axe, la moitié de la distance à travers le grand axe de l'ellipse. La lettre b représente l'axe semi-mineur, la moitié de la distance à travers le petit axe de l'ellipse. Pour un cercle parfait, a et b sont les mêmes de sorte que l'excentricité est nulle. L'orbite de la Terre a une excentricité de 0,0167, c'est donc presque un cercle parfait.

Quel est le sens de la troisième loi de Kepler ?

Le temps que met une planète pour faire le tour du Soleil (sa période, P) est lié à la distance moyenne de la planète au Soleil (d). C'est-à-dire que le carré de la période, P*P, divisé par le cube de la distance moyenne, d*d*d, est égal à une constante. Pour chaque planète, quelle que soit sa période ou sa distance, P*P/(d*d*d) est le même nombre.

Pourquoi l'orbite d'une planète est-elle d'autant plus lente qu'elle est éloignée du Soleil ?

Une planète se déplace plus lentement lorsqu'elle est plus éloignée du Soleil car son moment angulaire ne change pas. Pour une orbite circulaire, le moment cinétique est égal à la masse de la planète (m) multipliée par la distance de la planète au Soleil (d) multipliée par la vitesse de la planète (v). Puisque m*v*d ne change pas, lorsqu'une planète est proche du Soleil, d devient plus petit lorsque v devient plus grand. Lorsqu'une planète est éloignée du Soleil, d devient plus grand lorsque v devient plus petit.

Où est la Terre quand elle voyage le plus vite ?

Il résulte de la deuxième loi de Kepler que la Terre se déplace le plus rapidement lorsqu'elle est la plus proche du Soleil. Cela se produit début janvier, lorsque la Terre est à environ 147 millions de km (91 millions de miles) du Soleil. Lorsque la Terre est la plus proche du Soleil, elle se déplace à une vitesse de 30,3 kilomètres (18,8 miles) par seconde.


Nomenclature

Il a fallu près de deux siècles pour que la formulation actuelle de l'œuvre de Kepler prenne sa forme définitive. de Voltaire Eléments de la philosophie de Newton (Éléments de la philosophie de Newton) de 1738 a été la première publication à utiliser la terminologie de « lois ». [1] [2] Le Encyclopédie biographique des astronomes dans son article sur Kepler (p. 620) déclare que la terminologie des lois scientifiques pour ces découvertes était courante au moins depuis l'époque de Joseph de Lalande. [3] C'était l'exposition de Robert Small, en Un compte des découvertes astronomiques de Kepler (1814) qui composaient l'ensemble des trois lois, en y ajoutant la troisième. [4] Small prétendait aussi, contre l'histoire, qu'il s'agissait de lois empiriques, fondées sur un raisonnement inductif. [2] [5]

En outre, l'utilisation actuelle de la « deuxième loi de Kepler » est quelque peu impropre. Kepler a eu deux versions, liées dans un sens qualitatif : la « loi des distances » et la « loi des aires ». La « loi d'aire » est ce qui est devenu la deuxième loi dans l'ensemble des trois, mais Kepler lui-même ne l'a pas privilégiée de cette façon. [6]


Lois de Kepler sur le mouvement planétaire : 1609-1666*

Les historiens de la science du XVIIe siècle ont fréquemment affirmé que les lois de Kepler sur le mouvement planétaire étaient largement ignorées entre le moment de leur première publication (1609, 1619) et la publication des Principia de Newton (1687). En fait, cependant, ils étaient plus largement connus et acceptés qu'on ne l'a généralement reconnu.

Les idées de Kepler furent, en effet, assez lentes à s'imposer, et jusqu'en 1630 environ, il y a peu de références à celles-ci dans la littérature de l'époque. Mais à partir de là, l'intérêt pour eux a augmenté assez rapidement. En particulier, le principe des orbites elliptiques avait été accepté par la plupart des principaux astronomes en France avant 1645 et en Angleterre vers 1655. Il a également reçu un soutien assez fort en Hollande.

La deuxième loi a eu une histoire plus mouvementée. Il a été énoncé dans sa forme exacte par quelques auteurs et a été utilisé en pratique par d'autres sans être explicitement formulé, mais la majorité, surtout après 1645, a préféré l'une ou l'autre de plusieurs variantes plus faciles à utiliser mais seulement approximativement correctes. La troisième loi a suscité moins d'intérêt que les autres, principalement peut-être parce qu'elle n'avait pas de base théorique satisfaisante, mais elle a été correctement énoncée par au moins six auteurs au cours de la période considérée.

Entre 1630 et 1650 environ, l'Epitome Astronomiae Copernicanae de Kepler (dans lequel les trois lois étaient clairement formulées) était probablement l'ouvrage le plus lu sur l'astronomie théorique en Europe du Nord et de l'Ouest, tandis que ses Tables rudolphines, fondées sur les deux premières lois, étaient considéré par la majorité des astronomes comme les tables planétaires les plus précises disponibles.

L'œuvre de Kepler n'a certainement pas reçu toute la reconnaissance qu'elle méritait, mais on a beaucoup exagéré à quel point elle a été négligée.


Troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler dit que le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse tracé par l'orbite. La troisième loi peut être prouvée en utilisant la deuxième loi. Supposons que la période orbitale est . Puisque l'aire d'une ellipse est πab où a et b sont les longueurs des axes semi-grand et semi-petit. La deuxième loi de Kepler donne :

A partir de l'équation de l'excentricité, les longueurs des demi-axes sont liées par :

Carré des deux côtés de la deuxième équation de la loi, puis insérer ce résultat pour b² :

Rappelons notre équation pour r(θ):

On laisse tomber θ₀ et on choisit un repère dans lequel θ=0 coïncide avec l'apoapsis. La longueur de l'apoapsis est a(1-e) et en égalant celle-ci à r(0) nous obtenons :

Maintenant, nous allons terminer la preuve en branchant ceci à l'équation pour la période :


La compréhension de Kepler des lois

Kepler ne comprenait pas pourquoi ses lois étaient correctes, c'est Isaac Newton qui découvrit la réponse à cette question plus de cinquante ans plus tard. Newton, comprenant que sa troisième loi du mouvement était liée à la troisième loi de Kepler du mouvement planétaire, a conçu ce qui suit :

  • P = période sidérale de l'objet
  • une = demi-grand axe de l'objet
  • g = 6,67 &fois 10 &moins11 N m 2 /kg 2 = la constante gravitationnelle
  • m1 = masse de l'objet 1
  • m2 = masse de l'objet 2
  • &pi = constante mathématique pi

Les astronomes faisant de la mécanique céleste utilisent souvent des unités d'années, UA, G=1 et des masses solaires, et avec m2 <<m1, cela se réduit à la forme de Kepler. Les unités SI peuvent également être utilisées directement dans cette formule.


Position en fonction du temps

Kepler a utilisé ses deux premières lois pour calculer la position d'une planète en fonction du temps. Sa méthode implique la résolution d'une équation transcendantale appelée équation de Kepler.

La procédure de calcul des coordonnées polaires héliocentriques (r,??) d'une planète en fonction du temps t depuis le périhélie, sont les quatre étapes suivantes :

1. Calculez le signifie anomalie M = NTm est le mouvement moyen. radians où P est la période. 2. Calculez le anomalie excentrique E en résolvant l'équation de Kepler : 3. Calculez le vraie anomalie ?? par l'équation : 4. Calculez le distance héliocentrique

Le cas particulier important de l'orbite circulaire, ?? =ـ, donne ?? = E = M. Parce que le mouvement circulaire uniforme était considéré comme Ordinaire, un écart par rapport à cette motion a été considéré comme un anomalie.

La preuve de cette procédure est présentée ci-dessous.

Anomalie moyenne, M

Le problème képlérien suppose une orbite elliptique et les quatre points :

s le Soleil (à un foyer de l'ellipse) z le périhélie c le centre de l'ellipse p la planète

distance entre le centre et le périhélie, la demi-grand axe, les excentricité, les demi-petit axe, la distance entre le Soleil et la planète. la direction de la planète vue du Soleil, la vraie anomalie.

Le problème est de calculer les coordonnées polaires (r,??) de la planète du temps depuis le périhéliet.

Il est résolu par étapes. Kepler considérait le cercle avec le grand axe comme un diamètre, et

la projection de la planète sur le cercle auxiliaire le point sur le cercle tel que les zones du secteur |zcy| et |zsx| sont égaux, les signifie anomalie.

Les domaines du secteur sont liés par

La zone du secteur circulaire

La zone balayée depuis le périhélie,

est par la deuxième loi de Kepler proportionnelle au temps depuis le périhélie. Donc l'anomalie moyenne, M, est proportionnel au temps écoulé depuis le périhélie, t.

Anomalie excentrique, E

Quand l'anomalie moyenne M est calculée, le but est de calculer la véritable anomalie ??. La fonction ?? = F(M) n'est cependant pas élémentaire. [19] La solution de Kepler consiste à utiliser

, X vu du centre, le anomalie excentrique

comme variable intermédiaire, et calculez d'abord E en tant que fonction de M en résolvant l'équation de Kepler ci-dessous, puis en calculant la véritable anomalie ?? de l'anomalie excentrique E. Voici les détails.

Division par une 2 /2 donne L'équation de Kepler

Cette équation donne M en tant que fonction de E. Détermination E pour un donné M est le problème inverse. Les algorithmes numériques itératifs sont couramment utilisés.

Après avoir calculé l'anomalie excentrique E, l'étape suivante consiste à calculer la véritable anomalie ??.

Vraie anomalie, ??

Notez sur la figure que

Diviser par et insertion de la première loi de Kepler

Le résultat est une relation utilisable entre l'anomalie excentrique E et la vraie anomalie ??.

Une forme de calcul plus pratique suit en substituant dans l'identité trigonométrique :

Multiplier par 1 + ?? donne le résultat

C'est la troisième étape de la relation entre le temps et la position sur l'orbite.

Distance, r

La quatrième étape consiste à calculer la distance héliocentrique r de la vraie anomalie ?? par la première loi de Kepler :

En utilisant la relation ci-dessus entre ?? et E l'équation finale de la distance r est:


Concepts liés aux lois de Kepler sur le mouvement planétaire

Les exemples d'orbites abondent. Des centaines de satellites artificiels orbitent autour de la Terre avec des milliers de débris. L'orbite de la lune autour de la Terre a intrigué les humains depuis des temps immémoriaux. Les orbites des planètes, des astéroïdes, des météores et des comètes autour du soleil ne sont pas moins intéressantes. Si nous regardons plus loin, nous voyons un nombre presque inimaginable d'étoiles, de galaxies et d'autres objets célestes en orbite les uns autour des autres et interagissant par gravité.

Tous ces mouvements sont régis par la force gravitationnelle. Les mouvements orbitaux des objets de notre propre système solaire sont assez simples à décrire avec quelques lois assez simples. Les orbites des planètes et des lunes satisfont aux deux conditions suivantes :

  • La masse de l'objet en orbite, m, est petit par rapport à la masse de l'objet qu'il orbite, M.
  • Le système est isolé des autres objets massifs.

Sur la base du mouvement des planètes autour du soleil, Kepler a conçu un ensemble de trois lois classiques, appelées lois de Kepler du mouvement planétaire, qui décrivent les orbites de tous les corps satisfaisant à ces deux conditions :

  1. L'orbite de chaque planète autour du soleil est une ellipse avec le soleil à un foyer.
  2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
  3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

Kepler’s First Law

The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

If you know the aphelion (rune) and perihelion (rp) distances, then you can calculate the semi-major axis (une) and semi-minor axis (b).

Kepler’s Second Law

Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

Tips For Success

Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

Kepler’s Third Law

The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

T is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

Links To Physics

History: Ptolemy vs. Copernicus

Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (une). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

  1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
  2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
  3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
  4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

Virtual Physics

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Practica Prophetica

F or eight years, Kepler sought unceasingly, with unremitting toil, to solve the law of planetary motion. During those years, he tried nineteen different hypotheses. One after another of these he was compelled to lay aside as not conforming to the motion of the planets. His courage and patience transfigured failure into success.

When, after days of study and nights of observation, the months showed a theory untenable, he turned from it without regret, knowing that there was one less theory to try. At last, he was compelled to give up every theory of the circle as the explanation of orbital motion. He then chose the next to the circle in simplicity, the ellipse. Here he found all the conditions met.

The problem at last was solved, and he cried,

“O almighty God, I am thinking Thy thoughts after Thee!”

When he had established his second and third laws, and written his exposition of them, he said:

“My book is written to be read either now or by posterity I care not which. It may well wait a century for a reader, since God has waited six thousand years for an observer.”

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